ども。

そのダウンロード中のダイアログはfubのプロセスなので、本体を終了したら一緒に終了するのはまあ仕方無いかと思います。

おそらく「IEだと平気なのに！！！！」とかの言い分があると思いますが、アレは別プロセスで起動されてるのかな？
調べてませんが、そうだったような気がします。

ちなみに同じく、別プロセスで実行する分には大丈夫です。URLマッチングの設定で「アプリケーションの実行」に
URL
*.zip
コマンドライン
C:\Program Files\Internet Explorer\IEXPLORE.EXE
（パスはIEの標準的な例です）

とか設定するとURLの末尾が.zipの場合はIEで開き、ダイアログになります。

ただまあ全然使えないと思いますので、ダウンローダーを使ったほうがいいでしょうね。
色々拡張子を設定するのも面倒だし、CGI経由のダウンロードだったりするとマッチしなかったりするかもしれません。